散光的矢量计算对多数人来说都不是很自然的概念。尤其是它涉及到矢量的定义、倍角、矢量的分解和组合等计算方法。

但实际上，这些步骤都并不那么难以理解，通过一定的步骤和方法，每个人都能够轻松掌握。

为了方便起见，我们在这里只讨论规则散光。

散光最让人感到头疼的可能就是它是一个所谓的“矢量”或者“向量”。所谓矢量指的是既有大小也有方向的量。具体的数学表示可以有很多种，但至少需要用两个坐标才能表示，比如在正交直角坐标系中用

或者在极坐标系中用

表示。

如果只是这样也就罢了，但是实际上散光与平面几何上的矢量概念也并不完全相同。

其中最显而易见的区别是，在数学里，0°和°两回事，但在散光的计算上，0°和°居然是一回事。虽然这件事情在眼科是常识，但如果真的仔细想一下，其实有些违反直觉。这可能是理解散光矢量计算与数学上的矢量计算区别的开始。

我们都知道规则散光指的是角膜在不同子午线上屈光力不同，且最大和最小屈光力子午线方向正好互相垂直。假设最小屈光力是43

这属于散光的入门级别的知识，但未必所有人都能回答这样一个问题，那就是，在0°和90°之间，角膜是个什么情况？

我们应该很有理由相信，在0°和90°之间，角膜的屈光力应该介于43D和44D之间，越靠近0°越小，越靠近90°越大，而且连续变化。

我们一般用屈光力K来表示一个角膜，但我们可以想象，如果角膜是完全没有弧度的，而是一块胶原板层堆叠而成的平板，那么当平行光垂直入射时，角膜是不会改变光的传播方向的，也就是不会具有屈光力。

所以可以说，角膜的屈光力来自于角膜的曲率半径，角膜越弯曲意味着角膜的半径越小，屈光力越大，数学上用这种方式表示：

其中K为屈光力，R指的是角膜的曲率半径。n1和n2都是介质的折射率，这里面n1指的是光线从空气入射，所以n1=1。而n1则稍微复杂一些，可以有不同的取值，这个以后可能会需要单独的场合进行探讨。

再回到刚才的问题，在0°和90°之间，角膜是个什么情况？既然屈光力的本质是角膜的曲率半径，那么问题就等价于，在0°和90°之间的不同方向上，角膜的曲率半径是多少？

一个有散光的角膜在形态上可以被认为是一个“复合曲面”，或者叫环曲面。如果环曲面这个词难以理解的话，我们可以先从圆柱体开始。

一个圆柱体可以被看成是，在沿着它长轴的方向（轴向）上，它的弯曲程度（曲率）为0，那么曲率半径（曲率的倒数）就是无穷大∞。而沿着与长轴垂直的方向（子午线）上，它的曲率半径最大。而在这两者之间呢，曲率半径连续变化，介于最大值和最小值之间。

而环曲面与圆柱体的区别就在于，其长轴的曲率半径是否为∞如果圆柱体的长轴也弯曲，就会形成一个环曲面。

一个形象的例子是，香肠是一个比较典型的圆柱体形态，我们把香肠掰弯，就会变成一根弯曲的香肠。假设我们买了一根质量非常好，韧性非常大的香肠，我们一直掰，直到香肠的头尾相接，形成的形状就会变得像一个甜甜圈的形状。这样我们就把一个圆柱面，变成了一个环曲面。

把甜甜圈放在桌上，通过它的中心垂直切一刀，它的断面其实跟一开始香肠的断面半径是一样大的，这是环曲面上曲率半径最小的那个面，而香肠的长轴被掰成的那个大圆，就是环曲面上曲率半径最大的面。

如果把这个概念放到角膜上，就分别是最大屈光力子午线，和最小屈光力子午线了。

在最小和最大屈光力子午线之间，角膜连续变化，其间的曲率半径与角度有关，具体计算涉及到更多的问题，在此不展开。

而为了矫正这个角膜的散光，所使用的散光矫正型的人工晶体，其实也是某个“甜甜圈”的一部分。区别是我们需要把晶体的最大屈光力子午线对准角膜的最小屈光力子午线，这样才能实现各个方向上总的屈光力一致，从而矫正散光。

这可以解释很多问题，比如为什么各个厂家的散光晶体基本上都是在“平坦轴”上有标记点，而标记点的连线要对准角膜的“陡峭轴”。

这还可以解释，为什么散光晶体各子午线上的厚度不同，一般是有标记点的方向最厚，与之垂直的方向最薄。这一点不只是在晶体，在眼镜、角膜接触镜等各方面都可能是相通的。

在花费了大量篇幅，了解散光的本质和形态特征以后，我们终于可以回到一开始的问题上，散光的矢量计算到底是怎么回事？

矢量计算可能是整个散光的理论体系中最难理解，但又最为根本的部分。我们只需要解决这样一个问题：已知散光

和

，怎么计算它们的和——

呢？

目前最常用的方法是这样的：

先将两个散光的角度都翻倍，也就是把

变成

，把

变成

，接下来求

和

的和。

有什么理由这么做呢？如果用一种不太严谨，但容易理解的方式去说明，那就是人眼的度数划分区间是(0,]，超过度的角度都需要对取余数。

而圆周是度的，将散光的角度做倍角计算等于把原来的区间也加倍，从(0,]一一对应地映射到了(0,]，这样就可以进行数学上的矢量计算了。

如果不这么做的问题是什么呢，举个例子就是：如果有两个散光，分别是1

如果上面这个例子直接算矢量和，会得到很奇怪的结果：1

于是经过倍角以后，我们仍然有两个矢量需要求一下和。但是需要注意的是，在倍角以后求得的矢量和也是倍角的，最后还需要还原一下。我们先看看怎么求倍角以后的矢量和

。

虽然我们可以用很多方法求这样矢量和，但最简单易用的方法可能是矢量分解：把

和把

都分解到两个互相垂直的方向上，比如0°（x轴）和90°（y轴）。

如果回想一下三角函数，就会发现矢量分解其实很容易。

在x轴方向的分量是

而y轴方向的分量也可以：

这么一来，我们

和

都转化成了两个互相垂直的分量，总的x轴上的分量和总的y轴上的分量分别是

这个结论可以推广之到如果有n个矢量，那么就有：

到这里基本上已经解决了90%的问题。剩下来的就很简单了。

有了两个总的分量X和Y以后，就可以计算

了。

根据勾股定理，

而且我们发现

然后可以用反正切（arctan）算一下2Ax3，这样就能得到Ax3。

但关于arctan需要注意的是，需要根据X和Y决定实际的角度。这是由正切函数和反正切函数的性质决定的：

所以

就得到了。

这一期比较完整地整理了散光的矢量计算方面的问题，不过在填平一个坑的时候挖了更多的坑。

由于篇幅关系，矢量计算的应用、CentroidSIA、关于散光本质的更深入的内容等，将会在以后陆续尝试整理。

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